Automorfimuodot korkeamman asteen ryhmillä

Sini ja kosini. Tutut aaltomaiset käyrät, joita jokainen on piirtänyt koulussa ruutupaperille. Ne toistavat itseään säännöllisin välein reaalisuoralla. Yksinkertaisia, elegantteja, jaksollisia.

Mutta mitä tapahtuu, kun siirrytään pois tutulta suoralta kohti moniulotteisia, negatiivisesti kaareutuvia symmetrisiä avaruuksia? Millaisia ovat jaksollisuuden vastineet siellä, missä intuitio ei enää kanna?

Nämä ovat juuri niitä automorfimuotoja joita filosofian tohtori Jesse Jääsaari Helsingin yliopistosta tutkii . ”Hieman yksinkertaistaen tutkin reaalisuoran jaksollisten funktioiden, kuten sini- ja kosinifunktioiden, vastineita sellaisissa negatiivisesti kaareutuvissa avaruuksissa”, hän tiivistää.

Klassisesta tuntemattomaan

Jääsaaren tutkimuksen ytimessä ovat automorfimuodot, jotka ovat modernin matematiikan keskeisiä tutkimuskohteita. Niillä on syvällisiä yhteyksiä lukuteoriaan, matemaattiseen fysiikkaan, esitysteoriaan (joka tutkii symmetrioiden algebrallisia rakenteita) ja kombinatoriikkaan (joka käsittelee diskreettejä rakenteita ja niiden laskentaa). Viimeisen sadan vuoden aikana matemaatikot ovat onnistuneet tutkimaan menestyksekkäästi niin sanottuja klassisia automorfimuotoja, kuten holomorfisia modulimuotoja ja Maassin muotoja. Näiden taustalla olevan matriisiryhmän aste on yksi.

Mutta matematiikka ei pysähdy tuttuun. Viime vuosina kiinnostus on kääntynyt kohti automorfimuotoja joiden taustalla on korkeamman asteen ryhmiä. Siellä tilanne on toinen.

”Monet klassisten automorfimuotojen tutkimiseen käytetyt tekniikat eivät yleisty erityisen hyvin korkeamman asteen tilanteisiin”, Jääsaari kertoo. ”Juuri se tekee niistä mielenkiintoisia. Olemassa olevat työkalut eivät riitä, joten tarvitaan kokonaan uusia ideoita.”

Lontoosta Helsinkiin ja avoimien ongelmien äärelle

Jääsaaren polku korkeamman asteen automorfimuotojen pariin alkoi jatko-opintovaiheessa ohjaajan ehdotuksesta. Tutkimuskohteet laajenivat Lontoossa, missä hän työskenteli tutkijatohtorina Queen Maryn yliopistossa vuosina 2020–2023. Siellä hän perehtyi erityisesti Siegelin modulimuotoihin, yksinkertaisimpiin holomorfisten modulimuotojen yleistyksiin korkeamman asteen ryhmille.

”Huomasin, että niihin liittyy paljon avoimena olevia luonnollisia kysymyksiä”, Jääsaari muistelee. 

Nyt Emil Aaltosen Säätiön rahoittamassa projektissa hän jatkaa Lontoossa aloittamaansa työtä ja tähtää korkeamman asteen automorfimuotojen teorian keskeisten avoimien ongelmien ratkaisemiseen. Tutkimus koskee muun muassa automorfimuotojen Fourier-kertoimia (jotka kuvaavat funktion rakenneosien vahvuuksia eri taajuuksilla) ja Siegelin modulimuotojen L-funktioiden analyyttisiä ominaisuuksia. L-funktiot ovat kompleksimuuttujan funktioita, jotka sisältävät syvällistä tietoa lukuteoreettisista objekteista. Lisäksi tutkimus käsittelee aritmeettisen kvanttikaaoksen kysymyksiä.

Kynä, paperi ja pitkäjänteisyyttä

Miltä matemaatikon arki näyttää? Jääsaaren tapauksessa se on kaikkea muuta kuin laboratoriotyötä.

”Suurin osa työstä on teknisten yksityiskohtien miettimistä kynän ja paperin kanssa”, hän kuvailee. Työ etenee eri lähestymistapojen punnitsemisena, konkreettisina laskuina ja tutkimuskirjallisuuteen perehtymisenä. Merkittävä osa ajasta kuluu yksittäisten teknisten haasteiden ratkaisemiseen.

Ja juuri siinä piilee sekä työn paras puoli että sen suurin haaste.

”Parasta ovat uudet oivallukset ja se tunne, kun pitkän miettimisen jälkeen lopulta ymmärtää, miten jokin asia toimii”, Jääsaari sanoo. ”Joskus tekniset yksityiskohdat osoittautuvat hankaliksi, minkä johdosta niiden ratkaiseminen saattaa kestää pitkäänkin.”

Odottamattomia yhteyksiä

Osa Jääsaaren tutkimuksesta keskittyy aritmeettiseen kvanttikaaokseen. Siinä tutkitaan, miten klassinen kaaos ilmenee kvanttimekaniikassa. Yhteys lukuteoriaan ja automorfimuotoihin tulee mukaan siten, että aritmeettiset rakenteet tuottavat klassisesti kaaottisia systeemejä joiden kvanttimekaanisissa vastineissa automorfimuodot vastaavat aaltoja, jotka sisältävät tietoa systeemistä.. Kyse on tutkimusalueesta, jossa kaksi näennäisesti etäistä tiedemaailmaa kietoutuvat yhteen syvällisellä tavalla.

”Matematiikassa ja luonnontieteissä ylipäätään esiintyy paljon odottamattomia yhteyksiä”.

Juuri tämä monitahoisuus on yksi syy, miksi automorfimuotojen teoria innostaa häntä. Se on risteyskohta, jossa lukuteoria, matemaattinen fysiikka, esitysteoria, harmoninen analyysi, ja kombinatoriikka kohtaavat.

Ensimmäinen oma tutkimusryhmä

Emil Aaltosen Säätiön apuraha merkitsee Jääsaarelle konkreettista askelta eteenpäin tutkijan uralla. Se mahdollistaa ensimmäisen oman tutkimusryhmän perustamisen: projektin ensimmäisen vuoden aikana palkataan jatko-opiskelija, joka työstää hankkeeseen liittyviä tutkimusongelmia kohti väitöskirjaa. Lisäksi rahoitus tukee pidemmän aikavälin täysipäiväistä tutkimustyötä sekä kansainvälistä liikkuvuutta ja yhteistyötä.

”Ilman apurahaa jatko-opiskelijan palkkaaminen ja tiivis yhteistyö kansainvälisten kollegoiden kanssa eivät olisi mahdollisia”, Jääsaari painottaa.

Viidenneltä luokalta tutkijan pöydän ääreen

Jääsaaren kiinnostus matematiikkaan heräsi jo peruskoulun viidennellä luokalla. Alun perin kohteena oli tosin fysiikka. Lukion alussa hän ymmärsi olevansa kiinnostuneempi fysikaalisten ilmiöiden kuvaamiseen käytettävästä matematiikasta kuin itse ilmiöistä. Matematiikkaolympiavalmennukseen osallistuminen vahvisti suuntaa ja sytytti erityisen kiinnostuksen lukuteoriaan.

”Toivon, että lukijalle välittyy kuva automorfimuodoista keskeisenä tutkimuskohteena matematiikassa. Korkeamman asteen tapausten tutkiminen on haastavaa ja vaatii kokonaan uusien menetelmien kehittämistä”, Jääsaari sanoo.

Jesse Jääsaari on filosofian tohtori ja matematiikan tutkija Helsingin yliopistossa. Hän on erikoistunut lukuteoriaan, erityisesti korkeamman asteen automorfimuotoihin ja niiden yhteyksiin matemaattiseen fysiikkaan. Säätiön tuki mahdollistaa hänen ensimmäisen tutkimusryhmänsä perustamisen ja kansainvälisen yhteistyön syventämisen.